Teoria das Filas

Postado por LordOfDeath em 02/set/2014 - Sem Comentários

Bem, o que seria uma fila? Como poderíamos qualificar? Estranho perguntar isso, mais nos deparamos com ela todos os dias quando vamos pagar uma conta, quando vamos ao supermercado, quando pegamos aquele engarrafamento não e mesmo? Então fila é a falta de capacidade de um provedor de serviços, fornecer a quantidade necessária de funcionários ou estruturas qualificada para suprir a demanda.

Em teoria das filas definimos que:

é um ramo da probabilidade que estuda a formação de filas, através de análises matemáticas precisas e propriedades mensuráveis das filas. Ela provê modelos para demonstrar previamente o comportamento de um sistema que ofereça serviços cuja demanda cresce aleatoriamente, tornando possível dimensioná-lo de forma a satisfazer os clientes e ser viável economicamente para o provedor do serviço, evitando desperdícios e gargalos.

Obs: devo ressaltar que, em teoria das filas não só o dia-a-dia (banco, supermercado, salão de beleza, cinema, pedágio etc…) e levado em consideração mais também as coisas mais abstratas como pedidos de manufatura, pilha de papéis com solicitações de reparo de máquinas.

Elemento de Uma Fila

População → clientes (transação ou entidade) que aguardam algum tipo de serviço.
Atendimento: é constituído de um ou mais servidores (atendentes ou canais de serviços).

1 – Características de uma Fila:

I. Clientes e Tamanhos da População:
Um cliente é proveniente da população. Para efeito prático, uma população muito grande é considerada infinita. Quando a população é muito grande, a chegada de um novo cliente a uma fila não afeta a taxa de chegada de clientes subseqüentes (as chegadas são independentes). Quando a população é pequena o efeito existe e pode ser considerável.

II. Processo de Chegada:
Exemplo: Em uma praça de pedágio chegam 20 automóveis por minuto ou 1 automóvel a cada 3 segundos. Trata-se de um valor médio.
λ = 20 clientes por minuto (ritmo de chegada)
IC = 3 segundos (intervalo médio)

Nesse exemplo pode-se quantificar o processo de chegada dizendo que a taxa média de chegada é de 20 veículos por minuto ou que o intervalo médio entre as chegadas é de 3 segundos.

Mas além dos valores médios é necessário também mostrar como os valores se distribuem em torno da média. Assim, para caracterizar corretamente um processo de chegada devemos lançar mão de uma distribuição de freqüência, tal como a distribuição normal, a de Poisson, a exponencial, etc.

Um tipo raro de processo de chegada é o regular (não existe nenhuma variação entre os valores para os intervalos entre chegadas). Esta situação ocorre apenas em processos altamente automatizados.

Existem situações em que o ritmo de chegada sofre variações durante o dia.

III. Processo de Adiamento:
Também descrito por valores médios. Um atendente pode atender 6 veículos por minuto ou que gasta 10 segundos para atender um veículo. Também é preciso usar as distribuições de probabilidades para descrever corretamente.
Processos de atendimento regulares também são raros na prática.
µ = 6 clientes por minuto (ritmo médio de atendimento)

TA = 10 segundos por cliente (tempo ou duração média do serviço ou atendimento)

IV. Número de Servidores:
O mais simples sistema de filas é aquele de um único servidor que pode atender um único cliente de cada vez. Conforme o aumento do ritmo de chegada, a qualidade do serviço pode ser mantida pelo aumento do número de servidores.

V. Disciplina da Fila:
É a regra que define qual o próximo a ser atendido. O mais comum é que o primeiro da fila é atendido primeiro, isto é, o primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido (FIFO – First In First Out). Existem outras disciplinas como, por exemplo, o último a chegar é o primeiro a ser atendido (LIFO – Last In First Out), serviço por ordem de prioridade, serviço randômico, etc.

VI. Tamanho Médio da Fila / Tamanho Máximo da Fila:
Os sistemas são dimensionados para uma certa quantidade máxima de clientes em espera, este dimensionamento geralmente é feito baseando-se em experiência real.  Quando a demanda cresce, amplia-se o sistema também baseando-se em experiência real.

VII. Tempo Médio de Espera na Fila:
O ideal é que não exista tempo de espera, mas nem sempre é a melhor situação do ponto de vista econômico.

2 – Dinâmica de uma Fila:

I. Chegada de Clientes:
No período de meia hora chegaram 12 pessoas. Os intervalos entre chegadas, a partir do instante zero estão registrados no quadro seguinte (com valores em minutos):

Cliente    1    2    3    4    5    6    7    8    9  10  11  12
Intervalo    2    3    3    3    5    0    1    5    1    4    1    2
Momento    3    6    9  12  17  18  19  23  24  28  29  31

 

  • A linha Cliente identifica a ordem de chegada dos clientes.
  • A linha Intervalo identifica o intervalo de tempo entre as chegadas.
  • A linha Momento indica o instante da chegada do novo cliente, obtido a partir de acumulações da linha intervalo acrescido de 1, para significar o início do próximo intervalo de tempo.

O valor médio dos intervalos acima é de 2,5 minutos, o ritmo médio de chegada é de 24 clientes por hora. Verificamos isso através da seguinte operação:

IC = 30 minutos /12  pessoas, ou seja, a cada 2,5 minutos chega 1 pessoa.
λ   = 60 minutos/2,5 margem de chegada de clientes, ou seja temos, 24 clientes por hora. (Obs: Observe que em casos como este poderíamos simplesmente ter multiplicado por 2 a informação fornecida no texto).

II. Atendimento:

Cliente   1   2   3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
Duração   1   2   1  1  3  2  1  4  2    3    1    3

 

O tempo médio de atendimento é de 2,0 minutos e o servidor tem uma capacidade de atender 30 clientes por hora. Que podemos obter por uma simples média entre o total de clientes/Somatório da duração, vejamos:
TA = 24/12 = 2 minutos por atendimento
µ = 60/2 = 30 clientes por hora

Ou então poderíamos ter:

Cliente  1   2   3  4  5  6  7  8  9  10  11  12
Tempo na Fila  0   0   0  0  0  3  4  0  3    1    3    2

 


A figura seguinte, ilustra a dinâmica da fila.
Elemento de Uma Fila
O último cliente saiu do atendimento no final do 35º minuto.
 

Conclusões:

  • Total de clientes atendidos: 12
  • Tempo total da fila: 16 minutos
  • Tempo Médio na Fila = 16/12 = 1,33 minutos
  • Número Médio na Fila = 16/35 = 0,46 cliente

Observe que a capacidade de atendimento (µ) é superior ao ritmo de chegada (λ) e mesmo assim formam-se filas. Se a abordagem fosse feita apenas pelas médias não teríamos a formação de fila. Caso o processo fosse regular, o tempo total de atendimento dos clientes seria de 32 minutos, mas como ele é aleatório o tempo total foi de 35 minutos.
O dimensionamento dos sistemas tenta minimizar esses efeitos pela modificação de fluxos, pela colocação de mais atendentes, pela utilização de melhores atendentes, etc. Também deve se observar o custo do atendimento.

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